Денис Бирюков начал заниматься волейболом в СДЮСШОР № 2 города Белгорода. В 2005 году вошёл в состав команды «Локомотив-Белогорье»-2, выступавшей в первой лиге чемпионата России. По окончании сезона был приглашён в молодёжную сборную России, с которой выиграл чемпионат Европы 2006 года в Казани и стал серебряным призёром чемпионата мира 2007 года в Мексике.
В сезоне 2008/09 вместе с партнёрами по молодёжной команде начал регулярно выступать в Суперлиге за «Металлоинвест» — фарм-клуб белгородского «Локомотива-Белогорья». В июле 2009 года стал победителем Всемирной Универсиады в Белграде. Успешное выступление привлекло внимание главного тренера сборной России Даниэле Баньоли, и 3 сентября 2009 года в Стамбуле Бирюков дебютировал в национальной команде в матче против сборной Эстонии.
С сезона 2009/10 защищал цвета «Локомотива-Белогорья». В январе 2011 года на правах аренды перешёл в «Газпром-Югру», где стал одним из лидеров команды. В 2011 году ярко проявил себя и в составе сборной России: выиграл Мировую лигу и Кубок мира, став вторым по результативности игроком команды в сезоне после Максима Михайлова. Специалисты отмечали его вариативность в атаке, умение играть от блока и высокий тактический интеллект.
С осени 2011 года выступал за новосибирский «Локомотив», с которым в сезоне 2012/13 выиграл Лигу чемпионов. В финальном матче против итальянского «Кунео» стал самым результативным игроком, набрав 23 очка. Летом 2013 года перешёл в московское «Динамо». В составе столичного клуба трижды становился призёром чемпионата России и в 2015 году выиграл Кубок Европейской конфедерации волейбола (Кубок ЕКВ).
В 2014 году вновь закрепился в составе национальной сборной и принял участие в Мировой лиге и чемпионате мира в Польше. После сезона 2016/17 перешёл в «Белогорье», однако из-за травмы контракт был досрочно прекращён. Реабилитацию проходил в московском «Динамо», а в ноябре 2017 года продолжил карьеру в самарской «Нове».
В декабре 2018 года из-за финансовых трудностей клуба покинул «Нову» и перешёл в «Динамо-ЛО». В сезоне 2019/20 выступал за «Урал» (Уфа), а в 2020 году вернулся в «Динамо-ЛО», где стал одним из опытнейших игроков команды и её лидером.
